DISTANCIA DEL ORIGEN A LA RECTA

http://www.youtube.com/watch?v=b1itHsQKTKw

TUTORIAL DE COMO CALCULAR LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

FORMULAS

  

MATEMATICA GENERAL:

 

Formula para encontrar el Punto:

 

1.- Pendiente:

 

 

2.- Ecuación de la línea recta:

 

(Y - Y1) = m(X - X2)

 

3.- Ecuación explicita:

 

Y = mx + b

 

4.- Ecuación General:

 

Ax + By +C = 0

 

5.- Ecuación canónica:

 

 

6.- Ecuación Paramétrica:

 

 X = f(t)

 Y = f(t)

 

7.- Tangente:

 

m= tg&

 

Imágenes de líneas:

 

 

EJEMPLOS DE EJERCICIOS:

 

 

Encontrar la pendiente de los siguientes puntos:

 



(1, -3) (3, 7)

 

 

= 7- (-3) = 7+3 = 10 = 5

    3 - 1         2       2

 

 

(3,2) (5,2)

 

 

= 2-2 = 0 = 0

   5-3    2

 

 

 

 

 

 
 


LA PENDIENTE La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular de un plano cartesiano suele estar representada por la letra M y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera: Y =mx+b Entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de (b) puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de (Y)cuándo X = 0 Este valor también es llamado ordenada en el origen.

PENDIENTE DE LA RECTA Si tenemos y = 3x − 4 esto es igual a, 3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta) Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la pendiente si solo tenemos la fórmula? Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta: Indirecta: Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta: 3x − y − 4 = 0 si (x = 1) 3(1) − y − 4 = 0 3 − y − 4 = 0 − y − 1 = 0 y + 1 = 0 y = − 1 P1 (1, −1) = (x1, y1) 3x − y − 4 = 0 si (x = 2) 3(2) − y − 4 = 0 6 − y − 4 = 0 − y + 2 = 0 y = 2 P2 (2, 2) = (x2, y2) Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente: (esta es la pendiente) Directa: Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente: 3x − y − 4 = 0 Ax − By − C = 0 A = cantidad de x B = cantidad de y C = Número cualquiera Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente (esta es la pendiente)

EJERCICIOS DE PENDIENTES

a) (2, 4) y (–1, –2)

b) (–3, 5) y (3, –1)

c) (–3, 5) y (2, 1)

d) (3, 2) y (5, 2)

CALCULO DE LA PENDIENTE

DOMINIO Y RANGO

https://www.youtube.com/watch?v=o9hEO2MYOZg

ECUACION DE LA RECTA

https://www.youtube.com/watch?v=3OMAXkz7Pak

ECUACIONES EN LA RECTA

Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales( );  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

Ecuación principal de la recta

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada. (x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

Ejemplo :

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0  

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea y   luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

TIPOS Y FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES

DOMINIO

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

EJEMPLO

f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
  tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

 , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Ecuaciones de la recta

Dibujamos una recta r en un sistema de referencia en el plano R = ( O, i, j )

Podemos determinar la recta r cuando conocemos un punto de ella A ( x₀ , y₀ ) y un vector director

u (u₁ , u₂).

Ejemplos de ecuaciones de rectas

INECUACIONES RESOLUCION

 

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polémica de primer grado, es decir una función cuya presentación en el plano cartesiano es una línea recta esta función se la puede escribir como:

 

f (x)= mx + b

 

 

 

                                                                                 

  NOTA:

 

1. Por 1 punto.- pueden pasar varios puntos.

2. Por 2 puntos.- puede pasar solo una línea

 

   DISTANCIA:

 

En matemática la distancia entre dos puntos del espacio equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresando numéricamente.

 

Formula de la Distancia:

 

PENDIENTE:

                            

la constante m es es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y, si se modifica m entonces también se modifica la inclinación de la recta.

 

EJEMPLOS

 

 

 

 

 

 



EJERCICIOS DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

RESOLVER

• x² − 6x + 8 > 0
• 2x² + 2x +1 ≥ 0
• 3x² + x +1 > 0
• 47x² + 21x − 28 < 0
• 5−x² + 4x − 7 < 0
• 6
• 74x² − 4x + 1 ≤ 0
• 8
• 9x⁴ − 25x² − 144 < 0
• 10x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0

                                                     LINEAS Y RECTAS

La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una linea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar ni principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características pero esta representando el orden de los numero.

Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final. - La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:


Demostración:

Lineas paralelas

Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Recuerda:

Siempre a la misma distancia y nunca se encuentran.

Las líneas roja y azul son paralelas en estos dos casos:

Ejemplo 1		Ejemplo 2

relaciones

intervalos

http://www.youtube.com/watch?v=E47WUl4XvKA

RELACIONES Y FUNCIONES 

Una relación:

U=(1,2,3,4)

Una Función: Encontramos dos elementos que son:

Dominio: Son todos los elementos del conjunto A o de X.

Recorrido: Todos los elementos del conjunto B o Y.

Una función se la denota de la siguiente manera y=f(x) que se lee Y en función de X . Una función tiene dos tipos de variables, variables dependientes u variables independientes donde X es la variable independiente y la Y la dependiente.

INECUACIONES DE SUGUNDO GRADO

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

x² − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x² − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2)  (4, ∞)

x² + 2x +1 ≥ 0

x² + 2x +1 = 0

(x + 1)² ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 

		Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0	(x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0	(x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0	(x + 1)2 ≤ 0	x = − 1
x2 + 2x +1 < 0	(x + 1)2 < 0

x² + x +1 > 0

x² + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

	Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0

Ejercicios de inecuaciones cuadraticas

1 7x² + 21x − 28 < 0

x² +3x − 4 < 0

x² +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)² +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 0² +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

PUNTOS Y RECTAS

PUNTOs

Un punto no tiene dimensiones.

Sirve para indicar una posición.

Se nombran con letras mayúsculas

2 RECTAS

Una recta tiene una dimensión: longitud.

Se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.

3 SEMIRRECTAS

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.